et systèmes de projection

Le développement des échanges de données sous forme numérique et l'intégration sur un même site de données d'origines diverses mettent en contact direct les utilisateurs avec les problèmes de référentiels géodésiques et de systèmes de projection. En effet, pour que les croisements et les comparaisons de telles données aient un sens, il faut apprécier l'incidence bien réelle de ces paramètres.

L'identification des systèmes de projection utilisés et la connaissance des algorithmes de transformation de l'un à l'autre, disponibles sur les différents logiciels SIG ou de cartographie, sont alors des conditions préalables indispensables à toute manipulation de données localisées dès lors que l'on s'intéresse à un territoire important (un département, une région,...).

Il convient dans un premier temps de s'attacher aux paramètres de la localisation : la forme conventionnelle du globe, la position et l'orientation du dièdre de référence. Ensuite, si la représentation cartographique est concernée comme source de données ou comme résultat d'investigation, il faut opter pour un système de projection, en prenant par défaut celui des données de référence ou de "fond de plan" du SIG, et connaître les formules de transformation dans d'autres systèmes.

La forme de la terre

La surface mathématique la plus proche de la surface de la terre, abstraction faite du relief, est celle d'un ellipsoïde de révolution, c'est à dire d'une sphère aplatie aux pôles.

Cette surface mathématique permet de traiter la représentation planimétrique de la surface de la terre en appliquant divers algorithmes de transformation en surface plane.

La prise en compte du relief nécessite l'introduction d'une autre surface. Celle-ci ne se résout pas à une forme mathématique simple.

En effet, on ne peut apprécier une altitude par une mesure directe d'une distance à partir d'une surface de référence qui n'est ni matérialisable, ni même, le plus souvent, physiquement accessible. La grandeur que l'on peut réellement mesurer est la " cote géopotentielle ", c'est à dire la valeur en un point de la pesanteur, résultante de la composition de l'attraction newtonienne et de l'accélération centrifuge due à la rotation de la terre.

L'adoption d'une surface équipotentielle de référence permet alors, par le calcul de la différence entre deux cotes géopotentielles, de traduire l'altitude par une mesure homogène à une distance.

Cette surface de référence est baptisée géoïde. Elle a été choisie telle que la surface des mers, supposée prolongée sous les terres émergées, en soit une approximation.

En raison de l'influence du relief, des variations de densité, de phénomènes océaniques, la surface du géoïde est irrégulière et ne se confond pas avec un ellipsoïde de révolution (les écarts maxima de niveau peuvent atteindre 100 mètres).

Pour cette raison la verticale, qui est la direction de la pesanteur, ne correspond pas strictement à la normale à l'ellipsoïde, - l'écart s'appelle la " déviation de la verticale " - et plusieurs types d'altitudes peuvent être définis (orthométrique, normale, dynamique).

Mais ces différences, importantes au plan national - environ 60 cm de basculement du nord-ouest au sud-est de la France entre les altitudes orthométriques et les altitudes normales, utilisées aujourd'hui - et au plan international, n'ont pas d'incidence dans les opérations locales de mesures opérationnelles de dénivelées.

Chaque pays, pour calculer le réseau géodésique dont dépend sa cartographie, a naturellement choisi un ellipsoïde propre, aussi voisin que possible du géoïde sur l’étendue de son territoire national.

Il existe un assez grand nombre d’ellipsoïdes de référence.

L’ellipsoïde retenu par la France est l’ellipsoïde de Clarke 1880 tangent à Paris au géoïde.

a : grand axe ; b : petit axe ;

a : aplatissement = (a - b)/a

Les systèmes de référence

En réalité, il existe de nombreux référentiels géodésiques issus de la discontinuité des préoccupations locales et de l'évolution de la géodésie. D'une façon générale, ces référentiels géodésiques ont une origine proche du centre des masses de la terre, l'un des axes proche de l'axe des pôles, un autre proche du plan méridien de Greenwich.

Ces systèmes sont directement utilisés pour la localisation des satellites et particulièrement ceux du GPS (global positioning system).

Les réseaux géodésiques et de nivellement

Pour cela, il est nécessaire d'établir un canevas couvrant l'ensemble du territoire de façon homogène, c'est à dire un réseau matérialisé de points de référence dont les coordonnées sont calculées avec précision et cohérence. C'est l'une des importantes missions de service public dévolues à l’IGN.

Compte tenu des procédés d'observation et des types d'utilisation, le réseau géodésique, pour la localisation planimétrique et le réseau de nivellement pour la localisation altimétrique sont indépendants.

Les systèmes de projection cartographique

Dans la plupart des applications, une représentation en deux dimensions de la surface terrestre est utilisée. Or, l'ellipsoïde n'est pas développable sur un plan.

La projection cartographique est une transformation mathématique faisant correspondre un point de l'ellipsoïde géodésique à un point d'un plan.

Cette transformation introduit nécessairement des déformations, c'est à dire des déplacements relatifs des différents points de la surface terrestre rapportés à l'ellipsoïde de référence.

Aussi de nombreux systèmes de projection cartographique sont-ils utilisés, suivant les buts recherchés, l'ampleur géographique de la zone utile et, en conséquence, de l'échelle cartographique de représentation.

Les points de l’ellipsoïde sont déterminés par leurs coordonnées géographiques l et j (longitude et latitude), les points du plan par leurs coordonnées rectangulaires x et y.

Un système de représentation est défini par l’ensemble de deux formules :

x = f(l,j) et y = g(l,j)

Les types de projection

On distingue deux types de projections : les projections équivalentes et les projections conformes.

Les projections équivalentes :

Projections qui conservent les aires. Ce type de projections est sans intérêt du point de vue topographique car, outre les longueurs, elles altèrent aussi les angles.

En revanche, elles sont intéressantes pour la cartographie en générale et surtout à petite échelle.

Aucune projection ne peut conserver les longueurs sur tout le domaine représenté.

L’ellipsoïde ne pouvant se développer sur une surface plane, chaque longueur subit une altération qui dépend de sa position sur l’ellipsoïde. Chaque système de projection est défini afin de minimiser cette altération linéaire.

Le système de projection utilisé en France pour les moyennes échelles est le système de Lambert.

Pour limiter l'importance des altérations de longueur, quatre cônes différents sont utilisés, dénommés Lambert I (Nord), II (Centre), III (Sud) et IV (Corse) pour la France métropolitaine.

Chaque zone Lambert s’étend de 1,50 grade soit 150 km de part et d’autre du parallèle origine, sauf la partie nord de la zone 1 et la partie sud de la zone 3, qui s’étendent à près de 2,00 grades, soit 200 km du parallèle origine.

D'autres systèmes, liés aux caractéristiques cartographiques locales sont utilisés pour les Départements d'Outre Mer.

Pour tenir compte des nécessités d'échanges de données géographiques et de continuité des représentations du niveau européen, un nouveau système de projection est en cours d'adoption.

La projection Lambert

La représentation Lambert est une projection sur un cône tangent à l’ellipsoïde le long d’un parallèle de latitude j0 appelé parallèle origine. On peut également définir la même projection sécante à l’ellipsoïde le long de deux parallèles origines.

C’est une projection " conforme " qui conserve les angles.

L'ellipsoïde de référence est l'ellipsoïde de Clarke 1880

Un méridien est choisi comme méridien origine. Pour les cartes françaises, c’est le méridien de Paris (milieu de la façade de l’Observatoire de Paris) qui est retenu.

Le cône peut être développé sur un plan sans déformation.

- les parallèles sont des cercles concentriques de centre P,

- le parallèle origine est un cercle dont les arcs sont conservés en vraie grandeur. Il est également appelé isomètre central ou isomètre stationnaire.

- l’axe des Y de la représentation est l’image du méridien origine et la droite tangente à la transformée du parallèle origine forme l’axe des X.

La France et le système de projection Lambert II étendu

L’altération linéaire est égale à 0 sur l’isomètre central et croît comme le carré de la distance à celui-ci de façon symétrique quand on s’en éloigne.

Pour la France entière, lorsqu'on ne considère qu’une seule projection Lambert, avec un parallèle origine situé à la latitude moyenne du pays, l'altération linéaire est de l’ordre de 3 mètres par kilomètre à Dunkerque ou à Perpignan.

Pour les cartes au 1:25 000, une telle altération a été considérée excessive, ce qui a conduit à fractionner la France en quatre zones Lambert, du Nord au Sud, la quatrième concernant la Corse.

Ceci réduit l’altération linéaire en limite de zone à 1/3000 environ.

Pour des échelles plus petites, on adopte un seul système central de projection pour la France : le système Lambert 2 étendu.

Enfin, pour éviter les coordonnées négatives, on translate le point origine en X et Y (se rapporter au tableau ci-après).

Sur les cartes à 1:25 000 de l’IGN, afin de permettre aux utilisateurs de reconnaître facilement dans quelle zone Lambert ils se trouvent, on a ajouté devant les ordonnées : le chiffre de la zone Lambert de la carte.

Ceci correspond à une translation supplémentaire en Y, par exemple, de 1 000 000 m pour la zone 1, et jusqu’à 4 000 000 m pour la zone 4.

Ces systèmes de projection sont appelés Lambert carto. Le système de projection Lambert 2 carto correspond dans ce cas au système Lambert 2 étendu.